Matlis Duality

公開日: 2026/05/10

Matlis Duality の主張を書きます。（これは仮置きであり、適当な記事を書き次第たぶん削除します。）

$(A,\mathfrak{m},k)$を Noether 局所環とし、

とする（$\hat{A}$は$A$の$\mathfrak{m}$進完備化）。$E_A(k)$で$E$の$A$加群としての入射包絡を表す。

このとき

$E_A(k)=E_{\hat{A}}(k)$である。これを$E$とおく。
反変関手 $$\mathrm{Hom}_A(-,E_A(k)):\mathcal{D}\to\mathcal{E}$$ および $$\mathrm{Hom}_{\hat{A}}(-,E_{\hat{A}}(k)):\mathcal{E}\to\mathcal{D}$$ は互いに逆関手であり、$\mathcal{D}$と$\mathcal{E}$の反変同値を与える。
さらに、$\mathcal{C}$へ制限すると、反変関手 $$\mathrm{Hom}_A(-,E):\mathcal{C}\to\mathcal{C}$$ は自身が逆関手であり、$\mathcal{C}$の自己反変同値を与える。

↑ なんか PC から見ると数式が変な感じになっている気がします、どうにかなるモノなのでしょうか...
§18. Gorenstein環に、Matlis Duality の証明を含め Gorenstein 環の諸々を書いています。

1. 松村英之, 「復刊可換環論」, 共立出版, 2000年