問題

• $\mathbb{P}^4$ 内の2つの2次超曲面 $X_1, X_2$ にともに含まれる直線は何本か。

解答の方針

1. $\mathbb{P}^4$ 内の直線全体がなす多様体 $M$ を用意する。
2. $X_1$ に含まれる直線全体がなす部分多様体 $N_1\subset M$ を求める。
   $X_2$ に含まれる直線全体がなす部分多様体 $N_2\subset M$ を求める。
3. $M$ の中で $N_1$ と $N_2$ の適切な意味での交叉を数え上げる。

理解メモ

• 直線に対する条件全体の中で、ある意味で基底的な役割を果たす条件群が存在する。それらは実は Young 図形 で添え字付けることができる。
Young 図形 $\mapsto$ 条件
• 直線に対する条件が与えられれば、それを満たす直線全体、という Grassmann 多様体の部分多様体が定まる。
条件 $\mapsto\{$ その条件を満たす直線全体 $\}\subset$ Grassmann 多様体
• 以上を合わせると、Young 図形で添え字付けられた Grassmann 多様体の部分多様体たちが得られる。
  Young 図形 $\lambda\mapsto\Omega_\lambda^\circ\subset\Omega_\lambda\subset$ Grassmann 多様体
  これらは Grassmann 多様体の胞体分割を与えており、Schubert 胞体, Schubert 多様体 と呼ばれる。
• 3. のためにSchubert 胞体どうしの交叉理論（＝交叉の公式）を確立したいわけだが、ここで組み合わせ論的な道具が大活躍する。結果として Pieri の規則 や Giambelli の公式 が導かれる。前者は Schur 多項式 によって、後者は行列式によって書かれる。

2. についての観察

• 「直線が曲面に含まれる」という条件の意味するところを、Grassmann 多様体上に移植しなければならない。曲面の定義多項式を2次多項式 $f, g$ とする。これは $O_{\mathbb{P}^4}(2)$ の大域切断とみなせる。すなわち問題で与えられているものは
$$f,g\in\Gamma(O_{\mathbb{P}^4}(2))$$ であり、数えるべきは、$f$ の零点集合を $Z(f)$ と書くことにすれば $$\#\{\ell\subset\mathbb{P}^4\mid\ell\subset Z(f)\cap Z(g)\}$$ である。
• 直線 $\ell\subset\mathbb{P}^3$ が $Z(f)$ に含まれることは、$f|_\ell\equiv0$ と同値である。よって、$f$ の零点集合に含まれる直線全体というのは、対応　$\ell\mapsto f|_\ell$ の「零点集合」である。
$$\{\ell\mid\ell\subset Z(f)\}=\{\ell\mid f|_\ell\equiv0\}$$ $$\{\ell\mid\ell\subset Z(g)\}=\{\ell\mid g|_\ell\equiv0\}$$ $$\{\ell\mid\ell\subset Z(f)\cap Z(g)\}=\{\ell\mid f|_\ell\equiv0\}\cap\{\ell\mid g|_\ell\equiv0\}$$
• Grassmann 多様体上の $O(-1)$ に相当する 普遍部分束 $\mathscr{S}$ を用いると、$s_f:\ell\mapsto f|_\ell$ は $\mathrm{Sym}^2(\mathscr{S}^\vee)$ の大域切断とみなせることが分かる。「零点集合」は $s_f$ の 零軌跡（zero locus） と呼ばれ、$Z(s_f)$ と書かれる。
すなわち与えられているものは $$s_f,s_g\in\Gamma(\mathrm{Sym}^2(\mathscr{S}^\vee))$$ であり、数えるべきものは $$\#Z(s_f)\cap Z(s_g)$$ という、Grassmann 多様体内の交叉の点の個数である！

問題

• 多様体 $X$ と $X$ 上のベクトル束$\mathscr{E}$が与えられたときに、$\mathscr{E}$ の大域切断 $$s\in\Gamma(\mathscr{E})$$ の零軌跡 $$Z(s)$$ の交叉理論を作れ。